轴对称讲义(全)

　　轴对称讲义(全)_司法考试_资格考试/认证_教育专区。轴对称 【知识要点】 1、轴对称图形：如果沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，这样的图形为轴对称 图形。这条直线叫做这个图形的对称轴。 2、轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与

　　轴对称 【知识要点】 1、轴对称图形：如果沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，这样的图形为轴对称 图形。这条直线叫做这个图形的对称轴。 2、轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，说这两 个图形为轴对称。这条直线叫做这个图形的对称轴。 3、对称点：翻折后（图形重合时）能够互相重合的点。 4、垂直平分线（中垂线） ：垂直并且平分一条线：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 结论 2：如果一个图形关于某一条直线对称，那么连接对称点的线段的垂直平分线就是 该图形的对称轴。 【典型例题】 例 1. 在下列十个汉字中，哪几个是轴对称图形？他们各有几条对称轴？ 上下目天田土吕林显王 例 2. 如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有（） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 例 3. 下列图形中是轴对称图形的有（） ①矩形；②菱形；③平行四边形；④四边形；⑤等腰梯形；⑥直角梯形；⑦三角形；⑧等边 三角形；⑨等腰三角形；⑩正六边形 A. 5 个 B.6 个 C.7 个 D.8 个 例 3. 判断题 ①两个关于某直线对称的图形是一模一样的。 （ ） ②两个图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁。 （ ） ③两个对称图形对应点连线的垂直平分线，就是他们的对称轴 （ ） ④平面上两个完全相同的图形一定关于某直线 交于 A 点，P、Q 的位置如图所示，试确定 M 点，使它到 l1、l2 的距离相 等，且到 P、Q 两点的距离也相等。 l1 P A Q l2 例 5. 已知如图 1， 垂直平分线段 AB， 垂足分别为 E、 求证： MN CD F， AC=BD， ∠ACD=∠BDC． 例 6. 已知： 在△ABC 中，AB=AC,D 是 AB 的中点，且 DE⊥AB, △BCE 周长为 8， AC－BC=2, 且 求 AB,BC 的长。 例 7. 如图，将一张长方形纸片 ABCD 沿 EF 折叠后，D′E 与 BC 的交点为 G，点 D、C 分别 落在点 D′、C′的位置上，若∠EFG=55°，求∠1，∠2 的度数． 画图形的对称轴 【知识要点】 1. 任意两点总关于某一条直线对称，故画这两点的对称轴的方法是_____________ 2. 对于复杂图形的对称轴的画法：可先找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一组 对称点；再连结对称点；然后画出_________则这条________ 画轴对称图形 【知识要点】 1、对于某些图形，先画出图形中的一些特殊点 （如线段端点） 的对称点， 连接这些对称点， 就可以得到原图形的轴对称图形； 2、 平面直角坐标系中关于 X 轴和 Y 轴对称的图形的做法： 先找出一些特殊点的对称点坐标， 连接对称点，即可得到； 3、角平分线和垂直平分线的做法。 【典型例题】 例 1. 找出下列轴对称图形的所有对称轴，并把它画出来． 例 2. 下图中的各个图形是不是轴对称图形？如果是，画出它的一条对称轴． 例 3. 看以下两个图形是否是轴对称图形？你能否画出它的对称轴？ 例 4．如图，连结 B、B′的线段的垂直平分线是否还是你在上图中画的对称轴？ 例 5. 印制一本书，为了使装订成书后页码恰好为连续的自然数，可按如下方法操作：先将 一张整版的纸，对折一次为 4 页，再对折一次为 8 页，连续对折三次为 16 页，??；然后 再排页码．如果想设计一本 16 页码的毕业纪念册，请你按图 1，图 2，图 3（图中的 1，16 表示页码）的方法折叠，在图中填上按这种折叠方法得到的各页在该面相应位置上的页码． 例 6. 如图，∠AOB 内一点 P，试分别画出点 P 关于 OA 和 OB 的对称点 P1 和 P2 A P O B 例 7. 画出下列图形关于直线 L 的对称图形． 例 8. 下图中， 直线 L 是一个轴对称图形的对称轴， 画出这个图形关于直线 L 对称的另一半． 例 9. 如图是台球桌面矩形网格示意图，图中的四个角各有一个入球孔，如果一个球按图中 所示的方向被击出（球可以多次反射） ，那么该球最后将落入的球袋是（） A．1 号袋 B．2 号袋 C．3 号袋 D．4 号袋 等腰三角形 【知识要点】 1、等腰三角形的两个底角相等； 2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线、等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 （简写成“等角对等边”。 ） 4、等边三角形： ①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形。 5、在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 【典型例题】 例 1. 若等腰三角形的底边长为 10cm，则腰长 x 的取值范围是 例 2. 若等腰三角形的一个角为 40°，则另两个角为__________________。 例 3. 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为 45°，则这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 ） . 例 4. 设α 是等腰三角形的一个底角,则 α 的取值范围是（ A. 0α 90° B. α 90° C. 0α ≤90° D. 0≤α90° 例 5. 若等腰三角形的一个外角为 120°，一边长为 2cm，则另外两边长为 例 6. △ABC 中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB+BC=6cm，则 BC= 例 7. 如图所示，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，AD 是 BC 边上的中线，点 E 在 AB 上， DE⊥AB，AD=8cm，则 AE= cm，AC= cm 例 8. 如图，△ABC 中， ?ABC 、 ?ACB 的平分线交于点 D，EF 过点 D，分别交 AB、AC 于 点 E、点 F，且 EF//BC. （1）求证：ED=EB; （2）若△ABC 是边长为 3 的正三角形，求 EF。 E D F A B C 例 9. 如图，在△ABC 中，AB=AC，BC=BD=ED=EA，求∠A 的度数． 例 10. 已知△ABC 是等腰直角三角形，AB=AC，若 AD=AB，∠CAD=36°，求∠DBC 的度数。 A B E D C 例 11. 如图所示，在四边形 ABCD 中，AB=AD，CD= 2 3 ，∠A=60°，∠D=150°。已知四 边形的周长为 32，求四边形 ABCD 的面积. 例 12. 如图所示， 是等边三角形 ABC 内一点， P 连结 PA、 PC， BP 为边作∠PBQ=60°， PB、 ?以 且 BQ=BP，连结 CQ． （1）观察并猜想 AP 与 CQ 之间的大小关系？并证明； （2）若 PA：PB：PC=3：4：5，连 PQ．试判断△PQC 的形状并说明理由． 课题学习 【典型例题】 最短路径问题 例 1. 如图，草原上两个居民点 A,B 在河流 L 的同旁，一汽车从 A 出发到 B，途中需到河边 加水，汽车在哪一点加水，可使行驶的路程最短？在途中画出该点。 例 2. 图中 A，B 为公路 L 同旁的两个村庄，在 L 上找一点 P． （1）当 P 到 A，B 等距离时，P 在何处？ （2）当 P 到两村距离之和最小时，P 在何处？ B A I A B I 例 3. 如图所示，一牧人带马群从 A 点出发，先到草地边缘 MN 放牧，再带马群到河边缘 PQ 去给马饮水，试问：牧人应走哪条路线才能使总路程最短？ M A B Q N P 例 4. 草原上有两个居民点 A，B 在河流的同旁，如图所示，?暑假里小颖和父母去旅游恰好 路过此地，他们的汽车从居民点 A 到 B，途中需要到河边加水，?为了使行驶的路程最短， 小颖设计出了汽车应在河边的某一特定位置加水， 你能找出这个特定位置在河边的什么地方 吗？说明理由． A B 河 例 5. 如图所示，E、F 分别是△ABC 的边 AB、AC 的两定点，在 BC 上求一点 M，使△MEF 的周长最短。 A E B F C 【思考题】 例 6. 如图，已知：A、B 两点在直线 MN 的同侧，且 AB//MN，在 MN 上求一点 P，使： （1）PA-PB最小 （2）PA-PB最大 （3）PA+PB 最小 例 7. 当 A、 两点在直线 MN 的两则， A、 B 到 MN 的距离不相等， MN 上求一点 P， B 点 点 在 使： （1）PA-PB最小 （2）PB-PA最大 （3）PA-PB 最小